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大学数学 - 初等数论

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大学数学
初等数论 线性代数 射影几何 概率统计

初等数论
赵争 Email:zhaoz@jssvc.edu.cn

序言

数论是研究整数性质的一门很 古老的数学分支, 其初等部分是以 整数的整除性为中心的,包括整除性、 不定方程、同余式、连分数、素数 (即整数)分布 以及数论函数等内 容,统称初等数论(Elementary Number Theory)。

初等数论的大部份内容早在古希腊欧 几里德的《 几何原本》中就已出现。欧几 里得证明了素数有无穷多个,他还给出求 两个自然数的最大公约数的方法, 即所谓 欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有 杰出之贡献,现在一般数论书中的“中国 剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中 的下卷第26题,我国称之为“孙子定理”。

近代初等数论的发展得益于 费马、欧拉、拉格朗日、勒让德 和高斯等人的工作。1801年,高 斯的《算术探究》是数论的划时 代杰作。 “数学是科学之王,数论是数 学之王”。 -----高斯

欧几里德

高斯

费马

欧拉

拉格朗日

毕达格拉斯

由于自20世纪以来引进了抽象数学和高 等分析的巧妙工具,数论得到进一步的发 展,从而开阔了新的研究领域,出现了代 数数论、解析数论、几何数论等 新分支。 而且近年来初等数论在计算器科学、组合 数学、密码学、代数编码、计算方法等领 域内更得到了 广泛的应用,无疑同时间 促进着数论的发展。

数论是以严格和简洁着称, 内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中 最基本的概念和理论,希望大家能对这 门学问产生兴趣,并且对中小学时代学 习过的一些基本概念,例如整除性、最 大公因子、最小公倍数、辗转相除法等, 有较深入的了解。

第一章 整数的整除性
§1.1整除的概念 一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数 一个性质: 整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数

二、整除
1、定义:设a,b是整数,b≠0。如果存在 一个整数q使得等式: a=bq 成立,则称b能整除a或a能被b整除,记作 b∣a;如果这样的q不存在,则称b不能整 除a。

2、整除的性质
(1)如果b∣a, c∣b,则c∣a. (2)如果b∣a,则cb∣ca. (3)如果c∣a,则对任何整数d, c∣da. (4)如果c∣a, c∣b,则对任意整数m,n,有 c∣ma+nb. (5)如果a∣b, b∣a,则a=±b.

3、质数、合数
质数(素数) 合数 质因数 分解质因数 算术基本定理

4、带余除法
定理: 设a,b是两个整数,其中b>0,则存 在两个唯一的整数q及r,使得 a=bq+r,0≤r<b 成立.我们称r是b除a的余数。 可以看出:b整除a的充要条件是r=0。

§1.2最大公因数和辗转相除法
一、最大公因数 1、定义 设a1,a2

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